Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4 ~ DYJ Tutorial

Artikel ini membahas mengenai Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4 dimana materi ini akan kalian pelajari pada mata kuliah metode numerik. Sebelum belajar menggunakan program maka sebaiknya kita harus mempelajari terlebih dahulu cara menghitung dengan cara analitis sehingga program dapat dengan mudah dipahami.

Baca: Integrasi Numerik Metode Integrasi Trapesium

Interpolasi Metode Polinomial

Interpolasi adalah cara pendekatan yang fungsinya untuk memprediksi suatu nilai dari beberapa titik yang sudah diketahui. Semakin banyak data diketahui maka hasil dari prediksi akan semakin mendekati hasil yang eksak. Berikut adalah beberapa jenis metode polinomial:

Interpolasi Orde 2

Apabila diketahui ada tiga titik data, untuk memprediksi nilai data maka dapat digunakan interpolasi polinomial orde 2

f₂(x) = b₀+ b₁(x - x₀) + b₂(x - x₀)(x - x₁)

Dengan nilai koefisien adalah sebagai berikut:
b₀ = f(x₀)

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$
$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Interpolasi Orde 3

Interpolasi orde 3 dapat digunakan apabila diketahui terdapat 4 titik data dengan rumus sebagai berikut:

f₃(x) = b₀+ b₁(x - x₀) + b₂(x - x₀)(x - x₁) + b₃(x - x₀)(x - x₁)(x - x₂)

Dengan nilai koefisien adalah sebagai berikut:
b₀ = f(x₀)
b₁ = f(x₁, x₀)
b₂ = f(x₂, x₁, x₀)

b₂ = f(x₃, x₂, x₁, x₀)

Dengan nilai fungsi dalam kurung dengan rumus sebagai berikut:

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Bentuk Umum Polinomial Orde n

Untuk polinomial orde 4 sampai dst, kalian bisa menggunakan rumus polinomial orde n sebagai berikut ini:

Bentuk umum dari polinomial orde n adalah:

f_n(x) = b₀+ b₁(x-x₀) + …… + b_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1)

Dengan nilai koefisien adalah sebagai berikut:
b₀ = f(x₀)
b₁ = f(x₁, x₀)
b₂ = f(x₂, x₁, x₀)
b_n = f(x_n, x_n-1, …………..x₁, x₀)

Dengan fungsi dalam kurung merupakan pembagian beda hingga yaitu dengan rumus sebagai berikut:

Pembagian beda hingga pertama adalah:

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Pembagian beda hingga kedua adalah:

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Pembagian beda hingga ketiga adalah:

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Contoh Soal Interpolasi Polinomial

Contoh Interpolasi Polinomial Orde 3

Diketahui 4 titik data yaitu sebagai berikut:

x₀= 1, y₀= 8,345

x₁= 3, y1= 10,589

x₂= 5, y₂= 13,198

x₃= 5, y₃= 15,869

Jika nilai x adalah 7,5 maka tentukanlah nilai y

Jawab:

Digunakan interpolasi polinomial orde 3

Pembagian beda hingga pertama

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Pembagian beda hingga kedua

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Pembagian beda hingga ketiga

$Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4$

Hasil dari f[x₁,x₀], f[x₂,x₁,x₀], f[x₃,x₂,x₁,x₀] adalah koefisien dari b₁, b₂, b₃. Dengan b₀= f[x₀] = 8,345

f₃(x) = b₀+ b₁(x - x₀) + b₂(x - x₀)(x - x₁) + b₃(x - x₀)(x - x₁)(x - x₂)

f₃(x) = 8,345+ 1,122(7,5 - 1) + 0,0456(7,5 - 1)(7,5 - 3) + -0,006(7,5 - 1)(7,5 - 3)(7,5-5) = 16,533

Contoh Interpolasi Polinomial Orde 4

Jika diketahui:

Carilah nilai y dengan nilai x= 2,4 ,dengan menggunakan interpolasi polinomial order 4

Jawab:

Pembagian beda hingga pertama

Pembagian beda hingga kedua

Pembagian beda hingga ketiga

Pembagian beda hingga keempat

Hasil dari f[x₁,x₀], f[x₂,x₁,x₀], f[x₃,x₂,x₁,x₀], f[x₄,x₃,x₂,x₁,x₀] adalah koefisien dari b₁, b₂, b₃dan b_4. Dengan b₀= f[x₀] = 9,68

f4(x) = b₀+ b₁(x-x₀) + b2(x-x₀)(x-x₁) + b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) + b₄(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

f4(x) = 9,68 + 0,64(x-2) + 0,01(x-2)(x-4) + 0,00(x-2)(x-4)(x-6) + 0,00(x-2)(x-4)(x-6)(x-8) = 9,9296

Baik sekian materi kali ini mengenai Interpolasi Metode Polinomial Orde 2, Orde 3, Orde 4.Setelah mempelajari cara perhitungan metode polinomial secara analitis maka selanjutnya kalian bisa mencoba perhitungan ini dengan menggunakan program.